Distribution of Leading Digits of Imaginary Parts of Riemann Zeta Zeros II

Abstract Let γ n , n = 1,2, …, be the sequence of all positive imaginary parts of non-trivial zeros of the Riemann zeta function 𝜁( s ) in ascending order. n this paper we give a quantitative result on the distribution of leading block of digits of γ n , n = 1,2, …. For N i =# { n ≥ 1: γ n &lt; 10 i }(≥ 2) and an r -digits number D = d 1 d 2 ··· d r , we show that the frequency. <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>#</m:mo> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>:</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mtext>leading</m:mtext> <m:mi> </m:mi> <m:mtext>block</m:mtext> <m:mi> </m:mi> <m:mtext>of</m:mtext> <m:mi> </m:mi> <m:mi>r</m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mtext>digits</m:mtext> <m:mi> </m:mi> <m:mtext>of</m:mtext> <m:mi> </m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>γ</m:mi> </m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> <m:mi> </m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>D</m:mi> </m:mrow> <m:mo>}</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mfrac> </m:mrow> </m:math> {{\# \left\{ {n \le {N_i}:\left( {\text{leading block of} \,r\,\text{digits of}\,{\gamma _n}\,} \right) = D} \right\}} \over {{N_i}}} is approximated by <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:mfrac> <m:mn>1</m:mn> <m:mrow> <m:mn>9</m:mn> <m:mo>⋅</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mn>10</m:mn> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>+</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>log</m:mo> <m:mn>10</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>18</m:mn> <m:mi>π</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mn>10</m:mn> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>D</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>log</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>10</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>D</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>D</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>log</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>10</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>D</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>r</m:mi> <m:mo>-</m:mo>