Decay estimates for the structural damped wave equations on Heisenberg groups

Abstract In this paper, we study the structural damped wave equation on the Heisenberg group $${\mathbb {H}}_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and its solution $$u(t, \eta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $$t&gt; 0, \eta \in {\mathbb {H}}_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . We prove decay estimates including $$L^1-L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> estimates and $$L^1-L^\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> estimates for the solution $$u(t, \eta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and its higher-order time derivative and horizontal gradient $$\partial _t^\ell \nabla _{{\mathbb {H}}_n}^k u(t, \eta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Our approach relies on some detailed estimates using the group Fourier transform and the functional calculus of the sub-Laplacian. The obtained results are not only new but also improve previously known results.