On a Class of Kirchhoff Type p-Laplacian Evolution Equation with Nonlocal Logarithmic Nonlinearity

Abstract We study the Dirichlet problem for a class of Kirchhoff-type evolution equations involving the p -Laplace operator $$ u_{t}-a\left( \left\| \nabla u\right\| _{L^p(\Omega )}^{p}\right) \Delta _p u=\ln \left( \Vert u\Vert _{L^2(\Omega )}^2\right) |u|^{q(x,t)-2}u,\quad (x,t)\in \Omega \times (0,T), $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mfenced> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where the coefficient of the diffusion and the source terms nonlocally depend on the sought solution. We assume that the coefficient $$a:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty ) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a non-decreasing function, and $$a(s)\rightarrow 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> as $$s\rightarrow 0^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> ; therefore, the equation degenerates as $$\Vert \nabla u(t)\Vert _{p}\rightarrow 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Sufficient conditions for local and global in time solvability of the problem are found. The phenomena of blow-up or vanishing of solutions in a finite time are studied, and the upper bound for the blow-up moment is found.