Irrationality and transcendence questions in the ‘poor man’s adèle ring’

We discuss arithmetic questions related to the 'poor man's adèle ring' <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> whose elements are encoded by sequences <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> </mml:math> indexed by prime numbers, with each <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> </mml:math> viewed as a residue in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>Z</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> . Our main theorem is about the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> -transcendence of the element <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> (Schur's <i>q</i>-Fibonacci numbers) are the (1, 1)-entries of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> -matrices <DispFormula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd> <mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd> <mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd> <mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow> <mml:msup><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn></mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd> <mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow> <mml:msup><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </DispFormula> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> is an integer. This result was previously known for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> square free under the GRH.