THE GENERALIZED YANG-BAXTER MATRIX EQUATION $$ A(XA)^{m}=X(AX)^{m} $$ OVER $$ \textrm{GL}(2,\mathbb {F}) $$

Abstract Let A be a given $$ 2\times 2 $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> non-singular matrix over a general field $$ \mathbb {F} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> , and let m be an arbitrary positive integer. In this article, we completely solve the generalized Yang-Baxter matrix equation, namely the equation $$ A(XA)^{m}=X(AX)^{m} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for the unknown non-singular matrix X .