Bounded time inverse scattering for semilinear Dirac equation

Abstract In this paper, we present the first uniqueness result on the bounded time inverse scattering problem for a semilinear Dirac equation with smooth nonlinearity <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and x is the spatial variable. We show that the solution map, which sends initial data at time 0 to the solution at time T , uniquely determines <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>⩽</mml:mtext> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where M is a constant depend on the solution map, under the assumption that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> are known. In the proof, we construct a sequence of collisions approaching the initial timeline to simulate a boundary collision. This technique enables us to overcome the difficulties of this hyperbolic system without assumptions on the nonlinearity structure.