On a sine addition/subtraction law on semigroups

Abstract Let S be a semigroup, $$\sigma :S \rightarrow S$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> a surjective homomorphism and $$\mathbb {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> a field of characteristic different from 2. We study solutions $$f,g :S \rightarrow \mathbb {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> of the functional equation $$\begin{aligned} f(x\sigma (y)) = f(x)g(y) + \beta g(x)f(y) + \gamma f(x)f(y), \ x,y \in S, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> in which $$\beta \in \mathbb {F}^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$\gamma \in \mathbb {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are constants. The functional equation generalizes the sine addition and subtraction laws. We show that each solution ( f , g ) such that f and g are linearly independent, satisfies the special cosine-sine functional equation $$\begin{aligned} f(xy) = f(x)g(y) + g(x)f(y) + cf(x)f(y), \ x,y \in S, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi>