The Direct and Inverse Problem for a Class of Entire Functions Related to Sine Type Functions

Abstract For $$a&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and nonnegative integers m and n the classes $$\mathcal {A}^a_{m,n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> of entire functions are introduced. An entire function $$\omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:math> belongs to $$\mathcal {A}^a_{m,n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> if $$\omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:math> is real on the imaginary axis and has the form $$(i\mu )^{n-m+1}\omega (\mu ) =\chi _1(\mu )\cos \mu a+ i\chi _2(\mu )\sin \mu a+\Psi (\mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>cos</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>sin</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\chi _1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is a polynomial of degree $$n+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> with leading coefficient $$i^{n+1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , $$\chi _2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is a polynomial of degree at most n , and $$\Psi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ψ</mml:mi> </mml:math> is small with respect to the other terms. When $$m=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , these functions are sine type functions. The functions in $$\mathcal {A}^a_{m,n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> have infinitely many zeros with explicitly given asymptotic behaviour, for which the first $$n+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> terms in the asymptotics are determined by the coefficients in the polynomials $$\chi _1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and