Bifurcation in two parameters for a quasilinear Schrödinger equation

This paper deals with existence and multiplicity of positive solutions for the quasilinear Schrödinger equation <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <a:mtr> <a:mtd> <a:mrow> <a:mo>{</a:mo> <a:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <a:mtr> <a:mtd> <a:mo>−</a:mo> <a:mi mathvariant="normal">Δ</a:mi> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>−</a:mo> <a:mi>λ</a:mi> <a:mi>m</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mi mathvariant="normal">Δ</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mn>2</a:mn> </a:msup> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mtd> <a:mtd> <a:mi/> <a:mo>=</a:mo> <a:mi>f</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>μ</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mtd> <a:mtd/> <a:mtd> <a:mtext>in </a:mtext> <a:mi mathvariant="normal">Ω</a:mi> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> <a:mtr> <a:mtd> <a:mi>u</a:mi> </a:mtd> <a:mtd> <a:mi/> <a:mo>=</a:mo> <a:mn>0</a:mn> </a:mtd> <a:mtd/> <a:mtd> <a:mtext>on </a:mtext> <a:mi mathvariant="normal">∂</a:mi> <a:mi mathvariant="normal">Ω</a:mi> <a:mo>.</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> </a:mtable> <a:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </a:mrow> </a:mtd> </a:mtr> </a:mtable> </a:math> where <y:math xmlns:y="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <y:mi mathvariant="normal">Ω</y:mi> </y:math> is a bounded open domain in <ab:math xmlns:ab="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <ab:msup> <ab:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <ab:mi mathvariant="double-struck">R</ab:mi> </ab:mrow> <ab:mi>N</ab:mi> </ab:msup> </ab:math> with smooth boundary and <db:math xmlns:db="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <db:mi>m</db:mi> </db:math> is a bounded non negative continuous function. Under suitable assumptions on the asymptotically linear <eb:math xmlns:eb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <eb:mi>f</eb:mi> </eb:math> , we use bifurcation theory to analyze the set of positive solutions.