Subconvex bound for GL(3) × GL(2) <i>L</i>-functions: GL(3)-spectral aspect

Abstract Let ϕ be a Hecke–Maass cusp form for <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>SL</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>3</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>ℤ</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\mathrm{\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})}} with Langlands parameters <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>𝐭</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:msubsup> </m:math> {({\bf t}_{i})_{i=1}^{3}} and let f be a holomorphic or Hecke–Maass cusp form for <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>SL</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>ℤ</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\mathrm{\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})}} . In this article we prove the following subconvex bound: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>L</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:mi>f</m:mi> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mstyle displaystyle="false"> <m:mfrac> <m:mn>1</m:mn> <m:mn>2</m:mn> </m:mfrac> </m:mstyle> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:msub> <m:mo>≪</m:mo> <m:mrow> <m:mi>f</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>ϵ</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mi>T</m:mi> <m:mrow> <m:mrow> <m:mfrac> <m:mn>3</m:mn> <m:mn>2</m:mn> </m:mfrac> <m:mo>-</m:mo> <m:msub> <m:mi>δ</m:mi> <m:mi>ξ</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>ϵ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo rspace="12.5pt">,</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>δ</m:mi> <m:mi>ξ</m:mi> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mi>min</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">{</m:mo> <m:mstyle displaystyle="false"> <m:mfrac> <m:mi>ξ</m:mi> <m:mn>4</m:mn> </m:mfrac> </m:mstyle> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mstyle displaystyle="false"> <m:mfrac> <m:mn>1</m:mn> <m:mn>4</m:mn> </m:mfrac> </m:mstyle> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>-</m:mo> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>ξ</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">}</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> L(\phi\times f,\tfrac{1}{2})\ll_{f,\epsilon}T^{\frac{3}{2}-\delta_{\xi}+% \epsilon},\quad\delta_{\xi}=\min\{\tfrac{\xi}{4},\tfrac{1}{4}(1-2\xi)\}, for the central value <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/Mat