A generalized conditional Wiener integral with a drift and its applications

Abstract Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> <m:mo stretchy="false">]</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {C[0,T]} denote the space of real-valued continuous functions on <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> <m:mo stretchy="false">]</m:mo> </m:mrow> </m:math> {[0,T]} and let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>Z</m:mi> <m:mrow> <m:mover accent="true"> <m:mi>e</m:mi> <m:mo stretchy="false">→</m:mo> </m:mover> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo maxsize="260%" minsize="260%">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mo largeop="true" symmetric="true">∫</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mi>T</m:mi> </m:msubsup> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>e</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo rspace="4.2pt" stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>𝑑</m:mo> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mo largeop="true" symmetric="true">∫</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mi>T</m:mi> </m:msubsup> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>e</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo rspace="4.2pt" stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>𝑑</m:mo> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo maxsize="260%" minsize="260%">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo mathvariant="italic" separator="true"> </m:mo> <m:mrow> <m:mtext>for </m:mtext> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> <m:mo stretchy="false">]</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mtext>,</m:mtext> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> Z_{\vec{e},\infty}(x)=\Bigg{(}x(0),\int_{0}^{T}e_{1}(t)\,dx(t),\int_{0}^{T}e_{% 2}(t)\,dx(t),\dots\Bigg{)}\quad\text{for ${x\in C[0,T]}$,} where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">{</m:mo> <m:msub> <m:mi>e</m:mi> <m:mi>j</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">}</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:msubsup> </m:math> <jats:inline-graphic xmlns:xl