Characterizations of the boundedness of commutators of <i>G</i> -fractional integral operators in generalized <i>G</i> -Morrey spaces on ℝ ₊

Abstract Criteria for a pair of measurable functions <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>ω</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>ω</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:math> {(\omega_{1},\omega_{2})} ensuring the boundedness of the k -th order commutators <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mi>J</m:mi> <m:mi>G</m:mi> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:math> {J_{G}^{b,\alpha,k}} ( <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {k=1,2,\dots} ) of the G -fractional integral from one generalized G -Morrey space <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>ω</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mo>+</m:mo> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\mathcal{M}_{p,\gamma,\omega_{1}}(\mathbb{R}_{+})} to another one <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>ω</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mo>+</m:mo> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\mathcal{M}_{q,\gamma,\omega_{2}}(\mathbb{R}_{+})} (resp. from <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>ω</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mo>+</m:mo> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\mathcal{M}_{1,\gamma,\omega_{1}}(\mathbb{R}_{+})} to the weak space <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>W</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>ω</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mo>+</m:mo> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math>