A Massera type 定理 for nonautonomous abstract evolution equations on Banach spaces

1950年, Massera在Duke Math. J.上给出了一个经典的结果: 对于有限维Banach空间$X$上的周期系数方程 $$u'(t)=A(t)u(t)+f(t),\ \ t\in \mathbb{R},$$ 若其存在$\mathbb{R}^+$上的有界解, 则必定存在$\mathbb{R}$上的周期解. 这一Massera定理深刻揭示了有限维空间中周期解存在性和有界解存在性之间的密切关系. 然而, 这一现象发展到无穷维Banach空间时普遍依赖某种紧性条件, 特别是往往假设$A(t)$生成的发展系统$U(t,s)$具有紧性, 且在以往的研究中周期、概周期、概自守型Massera定理的条件有显著差异, 其中概周期型Massera定理的条件尤为复杂. 在本文中, 我们打破了无穷维空间上Massera定理对紧性条件的直接依赖, 在一个无需预设紧性的统一框架内, 成功建立了上述方程的周期、概周期和概自守型Massera定理. 值得一提的是，本文的概周期型Massera定理去除了[J. Differential Equations, 1999, 156: 309-327]中$U(1,0)$的谱可数及存在一致连续解这两个假设. 此外，还通过反例说明了: 在一些情形下，本文的周期和概自守型Massera定理本质减弱了[J. Differential Equations, 2000, 160: 263-282]等结果中$U(1,0)$紧这一核心假设.