Morphisms from ℙ^{𝕞} to flag varieties

In this paper, we consider the morphisms from projective spaces to flag varieties. We show that the morphisms can only be constant under some special conditions. As a consequence, we prove that the splitting types of unsplit uniform <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -bundles on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper P Superscript m"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {P}^m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> cannot be <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis a 1 comma ellipsis comma a 1 comma a 2 comma ellipsis comma a Subscript r minus k plus 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(a_1,\dots ,a_1,a_2,\dots ,a_{r-k+1})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to m minus 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1\le k\le m-2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a 1 greater-than a 2 greater-than midline-horizontal-ellipsis greater-than a Subscript r minus k plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_1&gt;a_2&gt;\dots &gt;a_{r-k+1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .