Interpolation of the inner measure of bilinear operators by the real method

Abstract We describe a procedure for extending the inner measure $$\beta _{_{\mathcal {I}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> </mml:math> associated to an operator ideal $$\mathcal {I}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:math> to a measure $$\beta _{_{\mathfrak {J}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> </mml:math> for bounded bilinear operators T . When $$\mathcal {I}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:math> is injective and closed, we show that $$\beta _{_{\mathfrak {J}}}(T)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> if and only if $$T=RS$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for some bounded bilinear operator S and $$R\in \mathcal {I}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . If $$\mathcal {I}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:math> satisfies the $$\Sigma _r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -condition, then we establish a convexity inequality for the measure $$\beta _{_{\mathfrak {J}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> </mml:math> of a bilinear operator interpolated by the real method.