$M$-structure: A nonlinear probabilistic structure with symmetric independence under model uncertainty

模型不确定性问题是在诸多领域中长期存在的一类基本问题. 非线性期望框架为模型不确定性的讨论提供了一个深刻的理论视角, 并且对经典概率体系进行了非平凡的系统性的扩展. 然而, 在讨论和实际问题的关联时, 非线性期望下的很多基本概念的含义需要仔细斟酌,比如正态和独立性. 提出M-结构的初衷是想设计一个具备统计意义上的灵活性的结构, 从而能够搭建一个桥梁, 既为非线性期望框架本身提供了一个能够对更加广泛的读者群体在理解过程中的切入点, 同时也为模型不确定性问题的讨论提供一个新的视角. 这种结构的灵活性可以从以下角度进行阐述. 从独立性来说, M-独立性保留了对称性, 能够刻画具有时空对称性的模型不确定性, 并且也和G-独立性有关联, 而后者主要刻画具备时间不对称性的模型不确定性. 我们进而得到了M-结构下的一个中心极限定理, 描述了具备时空对称性的模型不确定性下的渐近分布, 也就是M-正态分布. 而M-正态分布保留了在独立性下一元和多元分布的直接联系, 这是G-正态分布所不具备的. 更重要的是, M-结构揭示了经典与非线性期望意义下的概念之间的隐含的联系以及差异的来源, 这为后续的理论和实践层面的发展带来了一个意义深远的优势.