Intersecting families with large shadow degree

Abstract A $$k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> -uniform family $$\mathcal{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> is called intersecting if $$F\cap F'\neq \emptyset$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>∅</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for all $$F,F'\in \mathcal{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . The shadow family $$\partial \mathcal{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is the family of $$(k-1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -element sets that are contained in some members of $$\mathcal{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> . The shadow degree (or minimum positive co-degree) of $$\mathcal{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> is defined as the maximum integer $$r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:math> such that every $$E\in \partial \mathcal{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is contained in at least $$r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:math> members of $$\mathcal{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> . Balogh, Lemons and Palmer [1] determined the maximum size of an intersecting $$k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> -uniform family with shadow degree at least $$r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:math> for $$n\geq n_0(k,r)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $$n_0(k,r)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is doubly exponential in $$k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> for $$4\leq r\leq k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In the present paper, we present a short proof of this result for $$n\geq 2\frac{(r+1)^r}{\binom{2r-1}{r}}k\binom{2k}{k-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mfrac>