Analysis for non-local phase transitions close to the critical exponent $$s=\frac{1}{2}$$

Abstract We analyze the behaviour of double-well energies perturbed by fractional Gagliardo squared seminorms in $$H^s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> close to the critical exponent $$s=\frac{1}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> . This is done by computing a scaling factor $$\lambda (\varepsilon ,s)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , continuous in both variables, such that $$\begin{aligned} {\mathcal {F}}^{s_\varepsilon }_\varepsilon (u)=\frac{\lambda (\varepsilon ,s_\varepsilon )}{\varepsilon }\int W(u)\,dt+\lambda (\varepsilon ,s_\varepsilon )\varepsilon ^{(2s_\varepsilon -1)^+} {[}u ]_{{s_\varepsilon }}^2 \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> -converge, for any choice of $$s_\varepsilon \rightarrow \frac{1}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> as $$\varepsilon \rightarrow 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , to the sharp-interface functional found by Alberti, Bouchitté and Seppecher in [1] with the scaling $${|\log \varepsilon |^{-1}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> . Moreover, we prove that all the values $$s\in [\frac{1}{2},1 )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> are regular points for the functional $${\mathcal {F}}^{s}_\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/M