A new space of generalised vector-valued functions of bounded variation

Abstract In [18], the authors introduced the space of scalar-valued functions $$GBV_\star (A)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to minimise a class of functionals whose study is motivated by fracture mechanics. In this paper, we extend the definition of $$GBV_\star (A)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to the vectorial case, introducing the space $$GBV_\star (A;{{\mathbb {R}}}^k)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We study the main properties of $$GBV_\star (A;{{\mathbb {R}}}^k)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and prove a lower semicontinuity result useful for minimisation purposes. With the Direct Method in mind, we adapt the arguments of [18] to show that minimising sequences in $$GBV_\star (A;{{\mathbb {R}}}^k)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> can be modified to obtain a minimising sequence converging $${\mathcal {L}}^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> -a.e in A .