Investigation of box diagrams for the peak of $$Z_{cs}(3985)$$ in $$e^+e^- \rightarrow D^-_s D^{*0} K^+$$ and $$ D^{*-}_s D^0 K^+$$

Abstract The BESIII Collaboration recently observed a charged hidden-charm structure with strangeness in the recoil mass spectrum of $$K^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> in the processes $$e^+e^- \rightarrow D^-_s D^{*0} K^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> or $$D^{*-}_s D^0 K^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , named as $$Z_{cs}(3985)^-$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cs</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3985</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . Within the energy region around the peak of $$Z_{cs}(3985)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cs</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3985</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , various box diagrams are present. A systematic study of these box diagrams reveals the existence of a box singularity. Dalitz plots and invariant mass distributions of two charmed mesons from the box diagram for the processes $$e^+e^- \rightarrow D^-_s D^{*0} K^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$D^{*-}_s D^0 K^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> are presented at five energy points $$\sqrt{s} = 4.628,\,4.641,\,4.661,\,4.681$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4.628</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>4.641</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>4.661</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>4.681</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and 4.698 GeV. It is found that these box diagrams can generate peaks similar to those observed in experiments, suggesting that the peak of $$Z_{cs}(3985)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cs</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3985</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> may be attributed to the box singularity contribution. Additionally, slight differences in the invariant mass spectra of $$D^-_s D^{*0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <