On a parabolic-elliptic system of chemotaxis with logistic source and non-constant chemotactic coefficient

Abstract In this article, a parabolic-elliptic system of partial differential equations arising in chemotaxis with non-constant monotone chemotactic sensitivity is analyzed. Let $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> be a bounded and regular domain, u the density of a biological species and v the concentration of a chemical satisfying the parabolic-elliptic system $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle u_{t} - \Delta u = - div (u\chi (v) \nabla v) + \mu u (1- u), \; \; t&gt;0, \; x\in \Omega , \\ \displaystyle -\Delta v+ v = u, \; \; t&gt;0, \; x\in \Omega \end{array}\right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> under Neumann boundary conditions, and bounded and positive initial data. We study the asymptotic behaviour of solutions under suitable assumptions in $$\chi \chi &gt;0; \; \; \chi ^{\prime } \le 0; \; \; \; \chi ^{\prime \prime } \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mo>″</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> when $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> is sufficiently large for a given initial data $$u_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml