Bounds on $$T_c$$ in the Eliashberg Theory of Superconductivity. I: The $$\gamma $$-Model

Abstract Using the recent reformulation for the Eliashberg theory of superconductivity in terms of a classical interacting Bloch spin chain model, rigorous upper and lower bounds on the critical temperature $$T_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are obtained for the $$\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> model—a version of Eliashberg theory in which the effective electron–electron interaction is proportional to $$(g/|\omega _n-\omega _m|)^{\gamma }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\omega _n-\omega _m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is the transferred Matsubara frequency, $$g&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> a reference energy, and $$\gamma &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> a parameter. The rigorous lower bounds are based on a variational principle that identifies $$(2\pi T_c/g)^\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> with the largest (positive) eigenvalue $$\mathfrak {g}(\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of an explicitly constructed compact, self-adjoint operator $$\mathfrak {G}(\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . These lower bounds form an increasing sequence that converges to $$T_c(g,\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . The upper bound on $$T_c(g,\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is based on fixed point theory, proving linear stability of the normal state for T larger than the upper bound on $$T_c(g,\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> .