An analogue of the Pöschl–Teller anharmonic oscillator on an N-dimensional sphere

Abstract A Schrödinger particle on an N -dimensional ( $$N\geqslant 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) hypersphere of radius R is considered. The particle is subjected to the action of a force characterized by the potential $$V(\theta )=2m\omega _{1}^{2}R^{2}\tan ^{2}(\theta /2) +2m\omega _{2}^{2}R^{2}\cot ^{2}(\theta /2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo>tan</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo>cot</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $$0\leqslant \theta \leqslant \pi$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is the hyperlatitude angular coordinate. In the general case when $$\omega _{1}\ne \omega _{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , this is a model of a hyperspherical analogue of the Pöschl–Teller anharmonic oscillator. Energy eigenvalues and normalized eigenfunctions for this system are found in closed analytical forms. For $$N=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , our results reproduce those obtained by Kazaryan et al . (Physica E 52:122, 2013). For $$N\geqslant 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> arbitrary and for $$\omega _{2}=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the results of Mardoyan and Petrosyan (J. Contemp. Phys. 48:70, 2013) for their model of an isotropic hyperspherical harmonic oscillator are recovered. The Euclidean limit for the anharmonic oscillator in question is also discussed.