Relaxation time for a parametric family of zero-range processes

Abstract Based on well-known heuristic arguments that provide an upper bound for the relaxation time of zero-range processes and trying to establish a connection between the results obtained in Landim et al. (Ann Probab 24(4), 1996), Morris (Ann Probab 34(5):1645–1664, 2006) and Nagahata (Stoch Process Appl 120(6):949–958, 2010) we proposed to study the zero-range process associated with the following family of rate functions: $$\begin{aligned} g_{\alpha }(k) = {\left\{ \begin{array}{ll} \frac{(k+1)^{1-\alpha }-1}{1-\alpha } &amp; \text {if}\ \alpha \in [0,1) \cup (1,\infty ) \ \ln (k+1) &amp; \text {if}\ \alpha =1. \end{array}\right. } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>if</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>if</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> We state a conjecture about the order of the relaxation time for those processes and provide numerical evidence throughout deterministic iterative methods and Monte-Carlo simulations.