Minimal commutant and double commutant property for analytic Toeplitz operators

Abstract In this paper, we study the minimality of the commutant of an analytic Toeplitz operator $$M_\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , when $$M_\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is defined on the Hardy space $$H^2(\mathbb {D})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$\varphi \in H^\infty (\mathbb {D})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denotes a bounded analytic function in $$\mathbb {D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> . Specifically, we show that the commutant of $$M_\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is minimal if and only if the polynomials on $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> are weak star dense in $$H^\infty (\mathbb {D})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , that is, $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> is a weak star generator of $$H^\infty (\mathbb {D})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We use our result to characterize when the double commutant of an analytic Toeplitz operator $$M_\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is minimal for a large class of symbols $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> . Specifically, when $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> is an entire function, or more generally, when $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> belongs to the Thomson–Cowen class.