A general formula for Hecke-type false theta functions

In recent work where Matsusaka generalized the relationship between Habiro-type series and false theta functions after Hikami, he decomposed five families of Hecke-type double-sums of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis sigma-summation Underscript r comma s greater-than-or-equal-to 0 Endscripts minus sigma-summation Underscript r comma s greater-than 0 Endscripts right-parenthesis left-parenthesis negative 1 right-parenthesis Superscript r plus s Baseline x Superscript r Baseline y Superscript s Baseline q Superscript a StartBinomialOrMatrix r Choose 2 EndBinomialOrMatrix plus b r s plus c StartBinomialOrMatrix s Choose 2 EndBinomialOrMatrix Baseline comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfrac linethickness="0"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfrac linethickness="0"> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \bigg ( \sum _{r,s\ge 0}-\sum _{r,s&gt;0}\bigg )(-1)^{r+s}x^ry^sq^{a\binom {r}{2}+brs+c\binom {s}{2}}, \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b"> <mml:semantics> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c"> <mml:semantics> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are positive integers with negative discriminant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D colon-equal b squared minus a c greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D≔b^2-ac&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, into sums of products of theta functions and false theta functions. Here a general formula is obtained for such double-sums in terms of theta functions and false theta functions, which subsumes the decompositions of Matsusaka. Our general formula is similar in structure to the case of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where Mortenson and Zwegers obtain a decomposition in terms of Appell functions and theta functions.