Slice Regular Holomorphic Cliffordian Functions of Order k

Abstract Holomorphic Cliffordian functions of order k are functions in the kernel of the differential operator $$\overline{\partial }\Delta ^k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . When $$\overline{\partial }\Delta ^k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is applied to functions defined in the paravector space of some Clifford Algebra $$\mathbb {R}_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> with an odd number of imaginary units, the Fueter–Sce construction establishes a critical index $$k=\frac{m-1}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> (sometimes called Sce exponent) for which the class of slice regular functions is contained in the one of holomorphic Cliffordian functions of order $$\frac{m-1}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:math> . In this paper, we analyze the case $$k&lt;\frac{m-1}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and find that the polynomials of degree at most 2 k are the only slice regular holomorphic Cliffordian functions of order k .