Lattice artifacts of local fermion bilinears up to $$\text {O}(\text {a}^2)$$

Abstract Recently the asymptotic lattice spacing dependence of spectral quantities in lattice QCD has been computed to $$\textrm{O}(a^2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>O</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> using Symanzik Effective theory (Husung et al. in Phys Lett B 829:137069, 2022; Husung in Eur Phys J C 83:142, 2023). Here, we extend these results to matrix elements and correlators of local fermion bilinears, namely the scalar, pseudo-scalar, vector, axial-vector, and tensor. This resembles the typical current insertions for the effective Hamiltonian of electro-weak or BSM contributions, but is only a small fraction of the local fields typically considered. We again restrict considerations to lattice QCD actions with Wilson or Ginsparg–Wilson quarks and thus lattice formulations of QCD without flavour-changing interactions realising at least $$\textrm{SU}(N_{\textrm{f}})_\textrm{V}\times \textrm{SU}(N_{\textrm{b}}|N_{\textrm{b}})_\textrm{V}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mtext>f</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>V</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mtext>b</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mtext>b</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>V</mml:mtext> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> flavour symmetries for $$N_{\textrm{f}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mtext>f</mml:mtext> </mml:msub> </mml:math> sea-quarks and $$N_{\textrm{b}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mtext>b</mml:mtext> </mml:msub> </mml:math> quenched valence-quarks respectively in the massless limit. Overall we find only few cases $${\hat{\Gamma }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> , which worsen the asymptotic lattice spacing dependence $$a^n[2b_0{\bar{g}}^2(1/a)]^{{\hat{\Gamma }}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> compared to the classically expected $$a^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> -scaling. Other than for trivial flavour quantum numbers, only the axial-vector and much milder the tensor may cause some problems at $$\textrm{O}(a)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>O</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , strongly suggesting to use at least tree-level Symanzik improvement of those local fields.