Asymptotic independence for random permutations from surface groups

Abstract Let X be an orientable hyperbolic surface of genus $$g\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> with a marked point o , and let $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> be an orientable hyperbolic surface group isomorphic to $$\pi _{1}(X,o)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Consider the space $$\text {Hom}(\Gamma ,S_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Hom</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> which corresponds to n -sheeted covers of X with labeled fiber. Given $$\gamma \in \Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and a uniformly random $$\phi \in \text {Hom}(\Gamma ,S_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mtext>Hom</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , what is the expected number of fixed points of $$\phi (\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ? Formally, let $$F_{n}(\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denote the number of fixed points of $$\phi (\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for a uniformly random $$\phi \in \text {Hom}(\Gamma ,S_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mtext>Hom</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We think of $$F_{n}(\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> as a random variable on the space $$\text {Hom}(\Gamma ,S_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Hom</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We show that an arbitrary fixed number of products of the variables $$F_{n}(\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are asymptotically independent as $$n\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> when there are no obvious obstructions. We also determine the limiting distribution of such products. Additionally, we examine short cycle statistics in random permutations of the form $$\phi (\gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for a uniformly random <ja