A new result for entire functions and their shifts with two shared values

Abstract Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>f</m:mi> </m:math> f be a transcendental entire function of hyperorder strictly less than 1, and let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>c</m:mi> </m:math> c be a nonzero finite complex number. We prove that if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> f\left(z) and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> f\left(z+c) partially share 0, 1 ignoring multiplicity (i.e., <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mover accent="true"> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="true">¯</m:mo> </m:mrow> </m:mover> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⊆</m:mo> <m:mover accent="true"> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="true">¯</m:mo> </m:mrow> </m:mover> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \overline{E}\left(0,f\left(z))\subseteq \overline{E}\left(0,f\left(z+c)) and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mover accent="true"> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="true">¯</m:mo> </m:mrow> </m:mover> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⊆</m:mo> <m:mover accent="true"> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="true">¯</m:mo> </m:mrow> </m:mover> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \overline{E}\left(1,f\left(z))\subseteq \overline{E}\left(1,f\left(z+c)) ), then <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>≡</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> f\left(z)\equiv f\left(z+c) . This result is a generalization and improvement of the previous theorem due to Li and Yi.