Gradient Higher Integrability for Degenerate/Singular Parabolic Multi-phase Problems

Abstract This article establishes an interior gradient higher integrability result for weak solutions to parabolic multi-phase problems. The prototype equation for the parabolic multi-phase problem of p -Laplace type is given by $$\begin{aligned} u_t - \operatorname {div} \left( |\nabla u|^{p-2} \nabla u + a(z) |\nabla u|^{q-2} \nabla u + b(z) |\nabla u|^{s-2} \nabla u \right) = 0, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>div</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\frac{2n}{n+2}&lt; p \le q \le s &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and the coefficients a ( z ) and b ( z ) are non-negative Hölder continuous functions on $$\Omega _T = \Omega \times (0, T)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , with $$\Omega \subset \mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . We introduce a novel intrinsic scaling to address the problem in both the degenerate regime ( $$p \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) and the singular regime $$\left( \frac{2n}{n+2}&lt; p &lt; 2\right) ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> providing a unified framework. Our approach involves proving uniform parabolic Sobolev–Poincaré inequalities, which are key to establishing reverse Hölder type inequalities, along with covering lemmas for the p , ( p , q ), ( p , s ), and ( p , q , s )-phases without distinguishing between the regimes of p , q , and s . In the end, we also discuss the gradient higher integrability for general parabolic multi-phase problem involving a finite number of phases.