Static solutions for Choquard equations with Coulomb potential and upper critical growth

Abstract This paper focuses on static solutions for the following Choquard equation with zero mass and Coulomb potential $$\begin{aligned} -\Delta u+\left( \frac{1}{4\pi |x|}*u^2\right) u=\mu |u|^{p-2}u+(I_{\alpha }*|u|^{\alpha +3})|u|^{\alpha +1}u, \ \ \ \ x\in {\mathbb {R}}^{3}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\mu &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\frac{18}{7}&lt;p\le 6$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>18</mml:mn> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\alpha \in (0, 3)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $$\alpha +3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is the upper critical exponent in the sense of the Hardy–Littlewood–Sobolev inequality, $$I_{\alpha }{:}\,\mathbb {R}^3\rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is the Riesz potential, and $$\frac{1}{4\pi |x|}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> is the Coulomb potential. By carefully analyzing the intricate interplay between the power and Coulomb terms, we establish three types of variational geometries of the problem and prove the following existence results based on the behavior of p : the existence of two solutions, one being a local minimizer and the other of mountain-pass type, for an explicit range $$0&lt;\mu &lt;\mathrm {Const.}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>Const</mml:mi>