Ground-state solutions for fractional Kirchhoff-Choquard equations with critical growth

Abstract We study the following fractional Kirchhoff-Choquard equation: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable displaystyle="true"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:munder> <m:mrow> <m:mrow> <m:mstyle displaystyle="true"> <m:mo>∫</m:mo> </m:mstyle> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:munder> <m:msup> <m:mrow> <m:mfenced open="∣" close="∣"> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:mfrac> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>V</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>I</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>*</m:mo> <m:mi>F</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1.0em"/> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1.0em"/> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mfenced> </m:math> \left\{\begin{array}{l}\left(a+b\mathop{\displaystyle \int