Surface quotient singularities and bigness of the cotangent bundle: Part II

Abstract In Part I, we presented the CMS-criterion giving a sufficient condition for bigness of the cotangent bundle of a birational class $${\mathscr {X}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> of surfaces of general type. The CMS-criterion has the term $$Lh^1_\Omega ({\mathscr {X}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> coming from the singularities of the canonical model of $${\mathscr {X}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> , where each singularity contributes with $${h}_\Omega ^1(y)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , the first cohomological $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> -asymptotics of the singularity y . We give a method to find the invariant $${h}_\Omega ^1(A_n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where y is an $$A_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> singularity, and obtain a closed formula in n that allows us to understand the range of the CMS-criterion. To find $${h}_\Omega ^1(A_n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , we give a complete answer to the (holomorphic) extension problem along E for symmetric m -differentials on the complement $${{\widetilde{U}}}_{A_n}{\setminus }\hspace{1.111pt}E$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where $${{\widetilde{U}}}_{A_n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> is the resolution of a germ of an $$A_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> singularity and E its exceptional locus. We show that, for fixed n , the function $$\hslash ^0(A_n,m)=\dim \hspace{0.55542pt}[H^0(\widetilde{U}_{A_n}{\setminus }\hspace{1.111pt}E,S^m\Omega ^1_{{\tilde{U}}_{A_n}})/H^0(\widetilde{U}_{A_n},S^m\Omega ^1_{{\tilde{U}}_{A_n}})]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>ℏ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>dim</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:msub>