Ruzsa’s Problem on Bi-Sidon Sets

Abstract A subset S of real numbers is called bi-Sidon if it is a Sidon set with respect to both addition and multiplication, i.e., if all pairwise sums and all pairwise products of elements of S are distinct. Imre Ruzsa asked the following question: What is the maximum number f ( N ) such that every set S of N real numbers contains a bi-Sidon subset of size at least f ( N )? He proved that $$f(N)\geqslant cN^{\frac{1}{3}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , for a constant $$c&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In this note, we improve this bound to $$N^{\frac{1}{3}+\frac{7}{78}+o(1)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mn>78</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> .