Regularity for Orlicz Phase Problems

We provide comprehensive regularity results and optimal conditions for a general class of functionals involving Orlicz multi-phase of the type <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row upsilon right-arrow from bar integral Underscript normal upper Omega Endscripts upper F left-parenthesis x comma upsilon comma upper D upsilon right-parenthesis d x comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">↦</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{align} \upsilon \mapsto \int \limits _{\Omega } F(x,\upsilon ,D\upsilon )\,dx, \end{align}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> exhibiting non-standard growth conditions and non-uniformly elliptic properties. The model functional under consideration is given by the Orlicz multi-phase integral <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row upsilon right-arrow from bar integral Underscript normal upper Omega Endscripts f left-parenthesis x comma upsilon right-parenthesis left-bracket upper G left-parenthesis StartAbsoluteValue upper D upsilon EndAbsoluteValue right-parenthesis plus sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript upper M Endscripts a Subscript k Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper H Subscript k Baseline left-parenthesis StartAbsoluteValue upper D upsilon EndAbsoluteValue right-parenthesis right-bracket d x comma upper M greater-than-or-slanted-equals 1 comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">↦</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{align} \upsilon \mapsto \int \limits _{\Omega } f(x,\upsilon )\left [ G(|D\upsilon |) + \sum \limits _{k=1}^{M}a_k(x)H_{k}(|D\upsilon |) \right ]\,dx,\quad M\geqslant 1, \end{align}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G comma upper H Subscript k Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G,H_{k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-functions and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-slanted-equals a Subscript k Baseline left-parenthesis dot right-parenthesis element-of upper L Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0\leqslant a_{k}(\cdot )\in L^{\infty }(\Omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than nu less-than-or-slanted-equals f left-parenthesis dot right-parenthesis less-than-or-slanted-equals upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 &gt; \nu \leqslant f(\cdot ) \leqslant L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Its ellipticity ratio varies according to the geometry of the level sets <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace a Subscript k Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals 0 right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{a_{k}(x)=0\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the modulating coefficient functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript k Baseline left-parenthesis dot right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_{k}(\cdot )</mml:annotation> </mml:semantics> </