A Class of Moment-like Integrals Involving the Hyperbolic Tangent

Abstract The goal of this paper is to present a method leading to three different closed-form evaluations of the moment-like improper integrals $$\begin{aligned} \int \limits _A^\infty x^m\cdot (1-\tanh (x))^n\,{\textrm{d}}x, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>tanh</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$A\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and m , n are non-negative integers with $$n\ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . These evaluations involve multiple harmonic numbers, specific tails of series representing multiple polylogarithms, and Stirling numbers of the first kind respectively. As a by-product, we also deduce a new proof of the important identity $$\begin{aligned} {{\,\textrm{Li}\,}}_{\{1\}_j}\left( \tfrac{1}{a+1},\{1\}_{j-1}\right) =-{{\,\textrm{Li}\,}}_j\left( -\tfrac{1}{a}\right) , \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>Li</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>Li</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mstyle> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $${{\,\textrm{Li}\,}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>Li</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:math> denotes the multiple polylogarithm function.