Balayage of Measures: Behavior Near a Cusp

Abstract Let $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> be a positive measure supported on a planar domain $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> . We consider the behavior of the balayage measure $$\nu :=\textrm{Bal}(\mu ,\partial \Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext>Bal</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> near a point $$z_{0}\in \partial \Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> at which $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> has an outward-pointing cusp. Assuming that the order and coefficient of tangency of the cusp are $$d&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$a&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , respectively, and that $$d\mu (z) \asymp |z-z_{0}|^{2b-2}d^{2}z$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≍</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> as $$z\rightarrow z_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for some $$b &gt; 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> (here $$d^2z$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is the Lebesgue measure on $$\mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> ), we obtain the leading order term of $$\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:math> near $$z_{0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> . This leading