g-Loewner Chains and the Graham–Kohr Extension Operator in Complex Banach Spaces

Abstract In this paper we focus our attention on the Graham–Kohr extension operator $$\Psi _{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> (introduced by Graham and Kohr in Complex Var. Theory Appl. 47:59–72, 2002) defined by $$\begin{aligned} \Psi _{\alpha }(f)(z_1,w)=\bigg (f(z_1),\bigg (\dfrac{f(z_1)}{z_1}\bigg )^{\alpha }w \bigg ), \quad (z_1,w)\in \Omega _{p,r}, \, \alpha \in [0,1] \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> and its properties on the domain $$\Omega _{p,r}=\{(z_1,w)\in \mathbb {C}\times X:\vert z_1\vert ^p+\Vert w\Vert ^r_X&lt;1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where X is a complex Banach space and $$p,r\ge {1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In the main part of the paper we will prove that the Graham–Kohr extension operator $$\Psi _{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> preserves the first elements of g -Loewner chains from the unit disc U to the domain $$\Omega _{p,r}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mm