Asymptotic profiles for Choquard equations with combined attractive nonlinearities: the locally critical case

Abstract We study asymptotic behavior of positive ground state solutions of the nonlinear Choquard equation with a Sobolev critical attractive local perturbation where $$N\ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is an integer, $$p\in \big (\frac{N+\alpha }{N}, \frac{N+\alpha }{N-2}\big )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$2^*=\frac{2N}{N-2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> is the Sobolev critical exponent, $$I_\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the Riesz potential of order $$\alpha \in (0,N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$\varepsilon &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is a parameter. We show that as $$\varepsilon \rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , after suitable rescalings the ground state solutions $$u_{\varepsilon }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> of $$(P_\varepsilon )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> converge to a particular solution of the critical local Emden–Fowler equation. The rescalings are implicit and depend in a non-trivial way on the exponent p and the space dimension $$N=3,4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> or $$N\ge 5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We establish a sharp asymptotic characterisation of such rescalings, as well as the blow-up rates or asymptotics of the $$L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> and other relevant norm of $$u_{\varepsilon }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . As a follow up of our main results, we also obtain the existence, multiplicity and asymptotic behaviour of positive normalized solutions of a mass constrained problem associated to $$(P_\varepsilon )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with mass normalization constraint $$\int _{\mathbb {R}^N}|u|^2=c^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo>