Hikita-Nakajima conjecture for the Gieseker variety

Abstract Let $${\mathfrak {M}}_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> be an affine Nakajima quiver variety, and let $${\mathcal {M}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> be the corresponding BFN Coulomb branch. Assume that $${\mathfrak {M}}_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> can be resolved by the (smooth) Nakajima quiver variety $${\mathfrak {M}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> . The Hikita-Nakajima conjecture claims that there should be an isomorphism of (graded) algebras $$H^*_{S}({\mathfrak {M}},{\mathbb {C}}) \simeq {\mathbb {C}}[{\mathcal {M}}_{{\mathfrak {s}}}^{{\mathbb {C}}^\times }]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> </mml:msup> </mml:msubsup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $$S \curvearrowright ~{\mathfrak {M}}_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>↷</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is a torus acting on $${\mathfrak {M}}_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> preserving the Poisson structure, $${\mathcal {M}}_{{\mathfrak {s}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the (Poisson) deformation of $${\mathcal {M}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> over $${\mathfrak {s}}=\operatorname {Lie}S$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>Lie</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $${\mathbb {C}}^\times $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> is a generic one-dimensional torus acting on $${\mathcal {M}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> , and $${\mathbb {C}}[{\mathcal {M}}_{{\mathfrak {s}}}^{{\mathbb {C}}^\times }]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> </mml:msup> </mml:msubsup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the algebra of schematic $${\mathbb {C}}^\times $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -fixed points of $${\mathcal {M}}_{{\mathfrak {s}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . We prove the Hikita-Nakajima conjecture for $${\mathfrak {M}}={\mathfrak {M}}(n,r)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> Gieseker variety ( ADHM space). We produce the isomorphism explicitly on generators. We also describe the Hikita-Nakajima isomorphism above using the realization of $${\mathcal {M}}_{{\mathfrak {s}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi>