On the well-posedness of a Hamilton–Jacobi–Bellman equation with transport noise

Abstract In this paper we consider the following non-linear stochastic partial differential equation (SPDE): $$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} \textrm{d}u(s,x)=\sum ^n_{i=1} \mathscr {L}_i u(s,x)\circ \textrm{d}W_i(s)\\ \qquad \qquad +\left( V(x)+\mu \Delta u(s,x)-\frac{1}{2}\vert \nabla u(s,x)\vert ^2\right) \textrm{d}s, \quad &amp; \text {in } (0,T)\times {\mathbb {T}}^n,\\ u(0,x)=u_0(x),\quad \text {on } {\mathbb {T}}^n, \end{array}\right. } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math>