On singular integral operators along surfaces

Abstract Suppose that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>L</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>𝕊</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>×</m:mo> <m:msup> <m:mi>𝕊</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\Omega\in L^{1}(\mathbb{S}^{n-1}\times\mathbb{S}^{n-1})} is a homogeneous function of degree zero in the sense <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo mathvariant="italic" separator="true"> </m:mo> <m:mrow> <m:mtext>for any </m:mtext> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>&gt;</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> \Omega(tx,sy)=\Omega(x,y)\quad\mbox{for any }t,s&gt;0 satisfying the cancellation property <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mo largeop="true" symmetric="true">∫</m:mo> <m:msup> <m:mi>𝕊</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mo rspace="4.2pt">⋅</m:mo> <m:mo rspace="4.2pt" stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>𝑑</m:mo> <m:msub> <m:mi>σ</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mo largeop="true" symmetric="true">∫</m:mo> <m:msup> <m:mi>𝕊</m:mi> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo rspace="4.2pt" stretchy="false">(</m:mo> <m:mo rspace="4.2pt">⋅</m:mo> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:mo rspace="4.2pt" stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>𝑑</m:mo> <m:msub> <m:mi>σ</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mo>.</m:mo> </m:mrow> </m:math> <jats:graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="graphic/j_gmj-2025-2024_eq_0037.pn