Hopf’s lemma for parabolic equations involving a generalized tempered fractional <i>p</i> -Laplacian

Abstract In this paper, we study a nonlinear system involving a generalized tempered fractional p -Laplacian in B 1 (0): <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>∂</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>f</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>B</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>×</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>∞</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>B</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>×</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>∞</m:mi>