The lower plus and upper plus constructions for fibered biset functors

Abstract Let A be an abelian group, not necessarily finite. The main objective of this paper is to provide two constructions for an A -fibered biset functor. The first is the lower plus construction, and the other is the upper plus construction. These constructions coincide with the lower plus and upper plus constructions for biset functors (see [2]) when the fiber is the trivial group $$\lbrace \cdot \rbrace $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . To generate these constructions, it is necessary to have a family $$\mathcal {G}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> of finite groups and a function $$\mathcal {S}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> such that, for all $$G, H \in \mathcal {G}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we relate them to a subset $$\mathcal {S}(G, H)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of $$\mathcal {M}^A (G, H)= \mathcal {M}(G,H):=\lbrace (L,\varphi ) \mid L\le G\times H, \ \varphi \in \operatorname {Hom}(L,A)\rbrace $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>Hom</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> The pair $$\mathcal {(G,S)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> satisfies certain axioms outlined in Definition 3.1. These axioms are essential for enabling the pair $$\mathcal {(G, S)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> to generate the subcategory $$\mathcal {D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> of the category of A -fibered bisets, denoted as $$\mathcal {C}^A.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . In Sect. 2, we recall and extend the basic definitions and results for fibered bisets and fibered biset functors. In Sect. 3, the upper and lower constructions are defined. For this purpose, the pair $$\mathcal {(G, S)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is associated with $$\mathcal {(G, S_+ )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mathcal {(G, S^+ )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , with which we can construct the subcategories $$\mathcal {D}_+$$ <mml:math xmlns:mml="htt