Normalized solutions to the Chern–Simons–Schrödinger system: the supercritical case

Abstract We are concerned with the existence of normalized solutions for a class of generalized Chern–Simons–Schrödinger type problems with supercritical exponential growth $$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -\Delta u +\lambda u+A_0 u+\sum \limits _{j=1}^2A_j^2 u=f(u), \\ \displaystyle \partial _1A_2-\partial _2A_1=-\frac{1}{2}|u|^2,~\partial _1A_1+\partial _2A_2=0,\\ \displaystyle \partial _1A_0=A_2|u|^2,~ \partial _2A_0=-A_1|u|^2,\\ \displaystyle \int _{\mathbb {R}^2}|u|^2dx=a^2, \end{array} \right. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:munderover> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </