Explicit formula for the $$\Gamma $$-convergence homogenised quadratic curvature energy in isotropic Cosserat shell models

Abstract We show how to explicitly compute the homogenised curvature energy appearing in the isotropic $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> -limit for flat and for curved initial configuration Cosserat shell models, when a parental three-dimensional minimisation problem on $$\Omega \subset \mathbb {R}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for a Cosserat energy based on the second-order dislocation density tensor $$\alpha :=\overline{R} ^T \textrm{Curl}\overline{R} \in \mathbb {R}^{3\times 3}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msup> <mml:mtext>Curl</mml:mtext> <mml:mover> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , $$\overline{R}\in \textrm{SO}(3)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mtext>SO</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is used.