<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> Carleman estimates for elliptic boundary value problems and applications to the quantification of unique continuation

The aim of this work is to prove global <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> Carleman estimates for the Laplace operator in dimension <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Our strategy relies on precise Carleman estimates in strips and a suitable gluing of local and boundary estimates obtained through a change of variables. The delicate point and most of the work thus consists in proving Carleman estimates in the strip with a linear weight function for a second-order operator with coefficients depending linearly on the normal variable. This is done by constructing an explicit parametrix for the conjugated operator, which is estimated through the use of Stein–Tomas restriction theorems. As an application, we deduce quantified versions of the unique continuation property for solutions of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>÷</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in terms of the norms of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> satisfying either <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:m