Intrinsic Hölder spaces for fractional kinetic operators

Abstract We introduce anisotropic Hölder spaces that are useful for studying the regularity theory for non-local kinetic operators $$\mathscr {L}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> , whose prototypical example is $$\begin{aligned} \mathscr {L}u (t,x,v) = \int _{{{\mathbb {R}}}^d} \frac{C_{d,s}}{|v - v'|^{d+2s}} (u(t,x,v') - u(t,x,v)) \textrm{d}v' + \langle v, \nabla _x \rangle + \partial _t, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> with $$(t,x,v)\in {{\mathbb {R}}}\times {{\mathbb {R}}}^{2d}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . The Hölder spaces are defined in terms of an anisotropic distance relevant to the Galilean geometric structure on $${{\mathbb {R}}}\times {{\mathbb {R}}}^{2d}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , with respect to which the operator $$\mathscr {L}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> is invariant. We prove an intrinsic Taylor-like formula, whose remainder is bounded in terms of the anisotropic distance of the Galilean structure. Our achievements naturally extend analogous known results for purely differential operators on Lie groups.