Monotonicity for quasilinear elliptic problems with a sign-changing nonlinearity in half-planes

In this paper, we study the monotonicity of positive solutions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:math> to the problem <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:msubsup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mo form="prefix" movablelimits="true">max</mml:mo> <mml:mfenced close="}" open="{" separators=""> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are locally Lipschitz continuous functions. We consider sign-changing nonlinearities in the case <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and positive nonlinearities in the case <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Without any assumptions on the boundedness of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:math> or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , we show that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:math> is monotone increasing with respect to the direction orthogonal to the boundary. This improves a recent result by Esposito et al. [10], where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is assumed to be bounded in strips. Our proof combines the geometric techniques in the plane with the celebrated sliding and moving plane methods. Some analytic tools are also developed to deal with the lack of strong comparison and strong maximum principles when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> changes sign.